『译研报03』Z变换改造均线，一个12年前的策略为何仍能跑赢大盘？

传统移动平均线（MA）是技术分析中常用的趋势跟踪指标，通过对股票价格或指数在一定天数内的平均值进行计算，以刻画其变动方向。MA 的计算天数越多，其平滑性越好，但随之而来的时滞（延迟）影响也越严重。这意味着 MA 指标在跟踪趋势时容易出现“跟不紧”甚至“跟不上”的情况，平滑性和延迟性成为其不可避免的矛盾。

低延迟趋势线（LLT）的构造借鉴了信号处理理论中的滤波方法。传统的 EMA 指标被视为一阶低通滤波器，但其滤波效果相对较差，通带和阻带间的过渡带太长。LLT 通过设计二阶滤波器来优化滤波效果，实现了对信号高频部分的有效过滤，同时保留了低频部分的强度。与 MA 和 EMA 均线相比，LLT 大幅降低了延迟，同时兼顾了趋势线的平滑性，从而克服了传统 MA 指标在跟踪趋势时的滞后问题。

本文取材于广发证券-《低延迟趋势线与交易择时》一文。原文仅回测到2013年。我们在此基础上回测到2024年底，发现它在多空组合时，仍有很好的表现（上证夏普1.33）。

传统均线系统

为了对比，我们先给出传统均线的定义及图形。

移动平均（Moving Average）线，其算法为：

$MA(n) = \frac{1}{n}\sum^{n-1}_{i=0}price(T-i)$

其中 price 一般选择收盘价，MA(n) 即为 T 日的 n 日均线指标。对于 MA 指标，n 越大，趋势线的平滑性越好。

基于移动均线，我们可以实现一个简单的趋势跟随策略。信号的判断方式是看移动平均线的切线。如果切线斜率向上，则多头持有；如果切线斜率向下，则多头卖出。

下面的代码演示了 5, 10, 30 和 60 日均线。其中 30 日均线被称为生命线。最后的绘图中，显示了 30 日均线上，切线由正转负的情况。

def get_price(symbol, start_date, end_date):
    pro = pro_api()

    price_df = pro.index_daily(
        ts_code=symbol,
        start_date=start_date.strftime("%Y%m%d"),
        end_date=end_date.strftime("%Y%m%d"),
    )

    price_df = (
        price_df.rename({"trade_date": "date", "ts_code": "asset"}, axis=1)
        .sort_values("date", ascending=True)
        .set_index("date")
    )

    return price_df[["close"]]

start = datetime.date(2012, 10, 26)
end = datetime.date(2013, 4, 9)

price_df = get_price("000001.SH", start, end)

for i in [5, 10, 30, 60]:
    price_df[f"MA%d" % i] = price_df["close"].rolling(i).mean()

# 计算生命线趋势拐点
price_df["slope_30_5"] = price_df["MA30"].rolling(5, min_periods=5).apply(lambda y: np.polyfit(np.arange(5), y, 1)[0])

price_df["slope_30_5"] = price_df["slope_30_5"].fillna(0)
signs = np.sign(price_df["slope_30_5"])
sign_changes = signs * signs.shift(1) == -1

revert_dates = price_df.index[sign_changes]
print("找到的反转日期：", [i for i in revert_dates])

# 在现有图表上添加切线
cols = ["MA5", "MA10", "MA30", "MA60"]
ax = price_df[cols].plot(figsize=(18, 8), title='30 日均线切线分析')

# 切线长度
tangent_length = 15

for dt in revert_dates:
    # 获取该位置的 MA 值和斜率
    ma_value = price_df.loc[dt, 'MA30']
    slope = price_df.loc[dt, 'slope_30_5']
    i = price_df.index.get_loc(dt)
    
    # 计算切线范围
    start_idx = max(0, i - tangent_length)
    end_idx = min(len(price_df), i + tangent_length + 1)
    
    # 计算切线坐标
    x_offset = np.arange(start_idx - i, end_idx - i)
    y_tangent = ma_value + slope * x_offset
    tangent_dates = np.arange(start_idx, end_idx)
    
    # 绘制切线
    color = 'green' if slope > 0 else 'red'
    linestyle = '-.' if slope > 0 else '--'
    
    ax.plot(tangent_dates, y_tangent, 
           color=color, linestyle=linestyle, linewidth=2, alpha=0.8)
    
    # 标记切点
    ax.scatter(i, ma_value, color=color, s=100, zorder=5)
    ax.annotate(dt, 
               xy=(i, ma_value),
               xytext=(5, 10), textcoords='offset points',
               fontsize=9, color=color,
               bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.3', facecolor='white', alpha=0.8))

plt.show()

在该图中，绿色线为30日线。红点处，30日均线斜率由正转负，即为卖出信号。我们看到，通过 30 日均线的趋势跟随，可以捕捉到大的波段行情。但是，当趋势线提示我们该下车时，已经离行情高点下降不少。但如果使用 5 日均线这种短一点的均线，又会导致频繁发出信号，增加交易成本的情况。

这个结果表明，传统均线存在窗口小时，均线不平滑，趋势线切线上下抖动现象严重；窗口大时，均线平滑性好，但滞后性较强的问题。

    revert_dates = price_df.index[sign_changes]
```

如何解决传统均线在延迟和平滑上，存在鱼与熊掌不可兼得的矛盾？

LLT 均线

研报在 LLT 均线的原理及推导上介绍得比较深入细致。但是，要理解 LLT，需要有 Z 变换等基础，我们简单解释如下：

$$\frac{LLT(z)}{price(z)} = \frac{(\alpha-\alpha^2/4) + (\alpha^2/2)z^{-1} - (\alpha-3\alpha^2/4)z^{-2}}{1-2(1-\alpha)z^{-1} + (1-\alpha)^2z^{-2}}$$

这是一个所谓的Z域上的公式，我们需要按相应的规则，变换为时域公式。它的变换规则是：

• 上式是一个二阶 IIR 滤波器的传递函数。要得到时域递推公式，需要将分子分母都乘以分母的表达式，使分母变为 1（即左边只剩 LLT(z)），右边是分子的多项式与 price(z) 的卷积： $$LLT(z) \cdot [1-2(1-\alpha)z^{-1} + (1-\alpha)^2z^{-2}] = price(z) \cdot [(\alpha-\alpha^2/4) + (\alpha^2/2)z^{-1} - (\alpha-3\alpha^2/4)z^{-2}]$$
• 展开后，按 z 变换的性质，将 z^{-1}、z^{-2}分别对应到时域的 t-1、t-2 期： $$LLT_t - 2(1-\alpha)LLT_{t-1} + (1-\alpha)^2LLT_{t-2} = (\alpha-\alpha^2/4)price_t + (\alpha^2/2)price_{t-1} - (\alpha-3\alpha^2/4)price_{t-2}$$
• 移项得到递推公式： $$LLT_t = (\alpha-\alpha^2/4)price_t + (\alpha^2/2)price_{t-1} - (\alpha-3\alpha^2/4)price_{t-2} + 2(1-\alpha)LLT_{t-1} - (1-\alpha)^2LLT_{t-2}$$

变换后，我们最终得到的公式为：

$$ y_t = (\alpha-\alpha^2/4)x_t + (\alpha^2/2)x_{t-1} - (\alpha-3\alpha^2/4)x_{t-2} + 2(1-\alpha)y_{t-1} - (1-\alpha)^2y_{t-2} $$

可以看到，最终公式是一个递归函数，这里的$y_t$即为我们要求的LLT，它由前两期的LLT与最近三期的价格、以及一个$\alpha$参数共同决定。

它的实现代码是：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

def calculate_llt(prices, alpha=0.05):
    """
    计算LLT (Linearly Weighted Least Squares Triangular) 均线
    
    参数:
    prices (array-like): 价格序列
    alpha (float): 平滑系数，范围(0,1)，值越小均线越平滑，滞后性越大
    
    返回:
    array: LLT均线序列
    """
    n = len(prices)
    llt = np.zeros(n)
    
    # 初始化前两个值
    if n >= 1:
        llt[0] = prices[0]
    if n >= 2:
        llt[1] = prices[1]
    
    # 计算系数
    a1 = alpha - (alpha**2) / 4
    a2 = (alpha**2) / 2
    a3 = alpha - 3 * (alpha**2) / 4
    a4 = 2 * (1 - alpha)
    a5 = - (1 - alpha)**2
    
    # 递归计算LLT
    for t in range(2, n):
        llt[t] = a1 * prices[t] + a2 * prices[t-1] - a3 * prices[t-2] + a4 * llt[t-1] + a5 * llt[t-2]
    
    return llt

下面，我们对比一下EMA， 5日均线以及LLT均线：

price_df = get_price("000001.SH", start, end)
price_df['EMA'] = price_df['close'].ewm(alpha=0.05, adjust=False).mean()


price_df['MA30'] = price_df['close'].rolling(30).mean()
price_df['LLT'] = calculate_llt(price_df['close'], 0.05)

price_df.plot(figsize=(18,8),title='各类趋势线比较')

从这个个例上看，LLT确实跟得更紧（接近MA5），同时做到了比较平滑（比EMA更平滑，接近MA30）。

在计算LLT时，有一个$\alpha$参数，它的取值对平滑程度和延迟性都有影响：

for a in [0.03,0.04,0.05]:
    price_df[f'LLT(%s)'%a] = calculate_llt(price_df['close'],a)
    

show_cols = ["LLT(0.03)", "LLT(0.04)", "LLT(0.05)"]
price_df[show_cols].plot(figsize=(18,9),title='不同α参数的LLT趋势线')

回测与对比

我们先来看看传统均线的回测情况。我们将定义一个交易函数，它接受一个dataframe，因子列名和计算slope的窗口。后面我们在对LLT进行回测时，我们将使用同一个函数，这样可以确保对比的公正性。

import quantstats as qs
mport quantstats as qs
def trading_strategy(df, factor_col: str, slope_window=5, long_weight=0.5, short_weight=0.5):
    """
    计算基于均线斜率的多空组合策略收益
    
    参数:
    price_df: 包含收盘价的DataFrame
    factor_col: 因子列
    slope_window: 计算斜率的窗口大小
    long_weight: 多头仓位权重 (0-1)
    short_weight: 空头仓位权重 (0-1)
    
    返回:
    DataFrame: 包含策略收益的DataFrame
    """
    df = df.copy()
    df['slope'] = (df[factor_col].rolling(slope_window)
                    .apply(lambda x: np.polyfit(np.arange(slope_window), x, 1)[0]))

    df['signal'] = 0
    df.loc[df['slope'] > 0, 'signal'] = 1
    df.loc[df['slope'] < 0, 'signal'] = -1
    
    # 计算每日收益率
    df['benchmark'] = df['close'].pct_change()
    
    # 计算多空组合收益
    df['long_return'] = np.where(df['signal'] == 1, df['benchmark'], 0)
    df['short_return'] = np.where(df['signal'] == -1, -df['benchmark'], 0)
    
    # 组合收益 = 多头收益 * 多头权重 + 空头收益 * 空头权重
    df['strategy'] = df['long_return'] * long_weight + df['short_return'] * short_weight
    
    return df


def backtest_ma(start, end, win:int=30):
    price_df = get_price("000001.SH", start, end)
    factor_col = f"ma{win}"
    price_df[factor_col] = price_df["close"].rolling(win).mean()

    strategy_df = trading_strategy(price_df, factor_col)
    strategy_df.index = pd.to_datetime(strategy_df.index)

    qs.plots.returns(
                returns=strategy_df["strategy"],
                benchmark=strategy_df["benchmark"]
            )
    
    metrics = qs.reports.metrics(
            returns = strategy_df["strategy"],
            benchmark = strategy_df["benchmark"],
            display=False
        )
    
    print(metrics[:10])

start = datetime.date(2005, 9, 6)
end = datetime.date(2013, 6, 28)
backtest_ma(start, end)

我们在30日均线上，回测得到的结果，与研报基本一致，都在300%左右。

所以，在对LLT进行回测时，我们只需要先计算出LLT，再将LLT作为因子传入 trading_strategy 函数即可。

def backtest_llt(start, end, win:int=30, d=20):
    price_df = get_price("000001.SH", start, end)

    alpha = 2 / (d + 1)
    price_df["llt"] = calculate_llt(price_df["close"], alpha)

    strategy_df = trading_strategy(price_df, "llt")
    strategy_df.index = pd.to_datetime(strategy_df.index)

    qs.plots.returns(
                returns=strategy_df["strategy"],
                benchmark=strategy_df["benchmark"]
            )
    
    metrics = qs.reports.metrics(
            returns = strategy_df["strategy"],
            benchmark = strategy_df["benchmark"],
            display=False
        )

    print(metrics[:10])

start = datetime.date(2005, 1, 1)
end = datetime.date(2012, 10, 1)
backtest_llt(start, end)

运行结果表明，改用LLT均线之后，在同样的时间段，累积收益高出100%，夏普也由1.35提升到1.61，超额非常明显。

以上是研报复现的情况。研报发表时间较早，因此只回测到2013年，在此之后，情况如何？这个策略是否仍然有效?

如果把回测时间改到2013年之后，2024年底之前，保持alpha仍为0.05, 我们发现收益率对benchmark，仍有明显的超额。考虑到2015年之后，A股就一直没有大的行情，作为趋势跟随策略，收益不可能象之前那么好，也是理所当然。

不过，考虑增加alpha值（对应ema线窗口缩短）为0.1，以捕捉更短的波段，增加交易机会之后，则仍可以得到非常漂亮的超额和夏普：

start = datetime.date(2013, 1, 1)
end = datetime.date(2024, 12, 31)
backtest_llt(start, end, d = 10)

如果进一步增加alpha值到0.17（对应d=5）左右，则从2014年之后，上证指数多空组合收益达到了345%，夏普达到了1.33！

本策略全部代码以notebook格式发布在Quantide Research平台。加入平台后，可自行运行和验证此策略。